Установка:

apk add dcron

Чтение crontab после запуска crond для root /var/spool/cron/crontabs/root:

# do daily/weekly/monthly maintenance
# min   hour   day   month   weekday   command
*/15    *   *   *   *   run-parts /etc/periodic/15min
0       *   *   *   *   run-parts /etc/periodic/hourly
0       2   *   *   *   run-parts /etc/periodic/daily
0       3   *   *   6   run-parts /etc/periodic/weekly
0       5   1   *   *   run-parts /etc/periodic/monthly

Запуск сервиса в фоне:

crond

https://wiki.alpinelinux.org/wiki/Alpine_Linux:FAQ#My_cron_jobs_don.27t_run.3F